群(Group)、環(Ring)、體(Field) - 近世代數筆記

群(Group)、環(Ring)、體(Field). 0.參考資料 《近世代数》熊全淹，武汉大学出版社 ... ( 上)，沈淵源，數學傳播36 卷2 期, pp. 34-51 2015年5月25日星期一 群(Group)、環(Ring)、體(Field) 0.參考資料 《近世代数》熊全淹，武汉大学出版社 http://book.douban.com/subject/1237762/ 「抽象代數」真的抽象嗎?(上)，沈淵源，數學傳播36卷2期,pp.34-51 http://w3.math.sinica.edu.tw/math_media/d362/36204.pdf 幾個著名定理，徐健策 http://math1.ck.tp.edu.tw/徐健策/doc/專題教材/專題/幾個著名定理.pdf 1.等價關係 對於集合$S$，”$\sim$”是定義在$S$中的一種關係，若此關係滿足： (1)自反性(Reflexive)：$\foralla\inS,\;a\sima$。

(2)對稱性(Symmetric)：若$a\simb$，則$b\sima$。

(3)傳遞性(Transitive)：若$a\simb$且$b\simc$，則$a\simc$。

則此種關係稱為等價關係。

“模$m$同餘”是整數集合中的一個等價關係。

2.同餘類 所有模$m$彼此同餘的整數組成一類，稱為整數的一個模$m$同餘類。

整數$a$所在的同餘類記為$[a]$。

對任意整數$a$,$b$,$[a]=[b]$ifandonlyif$a\equivb$(mod$m$)。

$\mathbb{Z}_m=\left\{[0],[1],\cdots,[m]\right\}$ 3.完全剩餘系 在$m$個同餘類中每個同餘類取一個整數，這$m$個整數稱為完全剩餘系，簡稱(模$m$的)完系。

例如$\mathbb{Z}_3=\left\{-1,0,1\right\}=\left\{0,1,2\right\}$。

4.群(Group) 定義：一個集合$G$上的一個二元運算(binaryoperation)$\times$(稱之為乘法)滿足「封、結、單、反」四個性質，我們就說$G$在運算$\times$之下形成一個群，或說$(G,\times )$是一個群。

其中 封：封閉性(Closure) 結：結合性(Associativity) 單：存在單位元素(Identity) 反：每個元素都有反元素(Inverse) 如果運算$\times$是可交換的，我們就說$(G,\times )$是一個交換群(commutativegroup)，通常又稱為阿貝爾(N.H.Abel,1802-1829)群(Abeliangroup)。

5.環(Ring) 定義：一個集合$R$包含有加($+$)、乘($\times$)兩種二元運算並且滿足 $\left(R,+\right)$為交換群（加法單位元素記為$0$） 封：乘法之封閉性 結：乘法之結合律 單：存在乘法之單位元素 分配律：$\foralla,b,c\inR$,$(a+b)\timesc=a\timesc+b\timesc$ 符合以上五點之$(R,+,\times)$，稱之為環。

如果運算$\times$是可交換的，我們說$(R,+,\times)$是交換環(commutativering)。

由同餘式的性質我們可以定義：$[a]+[b]=[a+b]$；$[a]-[b]=[a-b]$；$[a]\times[b]=[a\timesb]$。

所以$\mathbb{Z}_m$中可以自然的進行加、減、乘三種運算，稱為(模$m$)同餘類環。

6.體(Field) 定義：一集合$F$，二元運算$+$(加法)，與二元運算$\times$(乘法)，滿足： $(F,+,\times)$為交換環 除了$0$以外的元素均存在乘法反元素 符合以上二點之$(F,+,\times)$，稱之為體。

7.一些代數表示 $\mathbb{Z}\left[\sqrt{-n}\right]=\left\{a+b\sqrt{-n}\mida,b\in\mathbb{Z}\right\}$ $\mathbb{Z}_m=\left\{[0],[1],\cdots,[m]\right\}$ 張貼者： Unknown 於 下午6:02 以電子郵件傳送這篇文章BlogThis！分享至Twitter分享至Facebook分享到Pinterest 沒有留言: 張貼留言 首頁 訂閱： 張貼留言(Atom) 關於我自己 Unknown 檢視我的完整簡介 網誌存檔 ▼  2015 (1) ▼  五月 (1) 群(Group)、環(Ring)、體(Field)