牛頓法- 維基百科，自由的百科全書

牛頓法（英語：Newton's method）又稱為牛頓-拉弗森方法（英語：Newton-Raphson method），它是一種在實數體和複數體上近似求解方程式的方法。

牛頓法 維基百科，自由的百科全書 跳至導覽 跳至搜尋 牛頓法（英語：Newton'smethod）又稱為牛頓-拉弗森方法（英語：Newton-Raphsonmethod），它是一種在實數體和複數體上近似求解方程式的方法。

方法使用函數 f ( x ) {\displaystylef(x)} 的泰勒級數的前面幾項來尋找方程式 f ( x ) = 0 {\displaystylef(x)=0} 的根。

目次 1起源 2方法說明 3其它例子 3.1第一個例子 3.2第二個例子 4應用 4.1求解最值問題 5註解 6外部連結 起源[編輯] 牛頓法最初由艾薩克·牛頓在《流數法》（MethodofFluxions，1671年完成，在牛頓去世後於1736年公開發表）中提出。

約瑟夫·鮑易也曾於1690年在AnalysisAequationum中提出此方法。

方法說明[編輯] 藍線表示方程式 f {\displaystylef} 而紅線表示切線。

可以看出 x n + 1 {\displaystylex_{n+1}} 比 x n {\displaystylex_{n}} 更靠近 f {\displaystylef} 所要求的根 x {\displaystylex} 。

首先，選擇一個接近函數 f ( x ) {\displaystylef(x)} 零點的 x 0 {\displaystylex_{0}} ，計算相應的 f ( x 0 ) {\displaystylef(x_{0})} 和切線斜率 f ′ ( x 0 ) {\displaystylef'(x_{0})} （這裡 f ′ {\displaystylef'} 表示函數 f {\displaystylef} 的導數）。

然後我們計算穿過點 ( x 0 , f ( x 0 ) ) {\displaystyle(x_{0},f(x_{0}))} 並且斜率為 f ′ ( x 0 ) {\displaystylef'(x_{0})} 的直線和 x {\displaystylex} 軸的交點的 x {\displaystylex} 坐標，也就是求如下方程式的解： 0 = ( x − x 0 ) ⋅ f ′ ( x 0 ) + f ( x 0 ) {\displaystyle0=(x-x_{0})\cdotf'(x_{0})+f(x_{0})} 我們將新求得的點的 x {\displaystylex} 坐標命名為 x 1 {\displaystylex_{1}} ，通常 x 1 {\displaystylex_{1}} 會比 x 0 {\displaystylex_{0}} 更接近方程式 f ( x ) = 0 {\displaystylef(x)=0} 的解。

因此我們現在可以利用 x 1 {\displaystylex_{1}} 開始下一輪疊代。

疊代公式可化簡為如下所示： x n + 1 = x n − f ( x n ) f ′ ( x n ) {\displaystylex_{n+1}=x_{n}-{\frac{f(x_{n})}{f'(x_{n})}}} 已有證明牛頓疊代法的二次收斂[1]必須滿足以下條件： f ′ ( x ) ≠ 0 {\displaystylef'(x)\neq0} ;對於所有 x ∈ I {\displaystylex\inI} ，其中 I {\displaystyleI} 為區間[α−r,α+r]，且 x 0 {\displaystylex_{0}} 在區間其中 I {\displaystyleI} 內，即 r ⩾ | a − x 0 | {\displaystyler\geqslant\left|a-x_{0}\right|} 的; 對於所有 x ∈ I {\displaystylex\inI} ， f ″ ( x ) {\displaystylef''(x)} 是連續的; x 0 {\displaystylex_{0}} 足夠接近根α。

其它例子[編輯] 第一個例子[編輯] 求方程式 cos ⁡ ( x ) − x 3 = 0 {\displaystyle\cos(x)-x^{3}=0} 的根。

令 f ( x ) = cos ⁡ ( x ) − x 3 {\displaystylef(x)=\cos(x)-x^{3}} ，兩邊求導，得 f ′ ( x ) = − sin ⁡ ( x ) − 3 x 2 {\displaystylef'(x)=-\sin(x)-3x^{2}} 。

由於 − 1 ≤ cos ⁡ ( x ) ≤ 1 ( ∀ x ) {\displaystyle-1\leq\cos(x)\leq1(\forallx)} ，則 − 1 ≤ x 3 ≤ 1 {\displaystyle-1\leqx^{3}\leq1} ，即 − 1 ≤ x ≤ 1 {\displaystyle-1\leqx\leq1} ，可知方程式的根位於 0 {\displaystyle0} 和 1 {\displaystyle1} 之間。

我們從 x 0 = 0.5 {\displaystylex_{0}=0.5} 開始。

x 1 = x 0 − f ( x 0 ) f ′ ( x 0 ) = 0.5 − cos ⁡ ( 0.5 ) − 0.5 3 − sin ⁡ ( 0.5 ) − 3 × 0.5 2 = 1.112141637097 x 2 = x 1 − f ( x 1 ) f ′ ( x 1 ) = ⋮ = 0. _ 909672693736 x 3 = ⋮ = ⋮ = 0.86 _ 7263818209 x 4 = ⋮ = ⋮ = 0.86547 _ 7135298 x 5 = ⋮ = ⋮ = 0.8654740331 _ 11 x 6 = ⋮ = ⋮ = 0.865474033102 _ {\displaystyle{\begin{matrix}x_{1}&=&x_{0}-{\frac{f(x_{0})}{f'(x_{0})}}&=&0.5-{\frac{\cos(0.5)-0.5^{3}}{-\sin(0.5)-3\times0.5^{2}}}&=&1.112141637097\\x_{2}&=&x_{1}-{\frac{f(x_{1})}{f'(x_{1})}}&=&\vdots&=&{\underline{0.}}909672693736\\x_{3}&=&\vdots&=&\vdots&=&{\underline{0.86}}7263818209\\x_{4}&=&\vdots&=&\vdots&=&{\underline{0.86547}}7135298\\x_{5}&=&\vdots&=&\vdots&=&{\underline{0.8654740331}}11\\x_{6}&=&\vdots&=&\vdots&=&{\underline{0.865474033102}}\end{matrix}}} 第二個例子[編輯] 牛頓法亦可發揮與泰勒展開式，對於函式展開的功能。

求 a {\displaystylea} 的 m {\displaystylem} 次方根。

x m − a = 0 {\displaystylex^{m}-a=0} 設 f ( x ) = x m − a {\displaystylef(x)=x^{m}-a} ， f ′ ( x ) = m x m − 1 {\displaystylef'(x)=mx^{m-1}} 而a的m次方根，亦是x的解， 以牛頓法來疊代： x n + 1 = x n − f ( x n ) f ′ ( x n ) {\displaystylex_{n+1}=x_{n}-{\frac{f(x_{n})}{f'(x_{n})}}} x n + 1 = x n − x n m − a m x n m − 1 {\displaystylex_{n+1}=x_{n}-{\frac{x_{n}^{m}-a}{mx_{n}^{m-1}}}} x n + 1 = x n − x n m ( 1 − a x n − m ) {\displaystylex_{n+1}=x_{n}-{\frac{x_{n}}{m}}(1-ax_{n}^{-m})} （或 x n + 1 = x n − 1 m ( x n − a x n x n m ) {\displaystylex_{n+1}=x_{n}-{\frac{1}{m}}\left(x_{n}-a{\frac{x_{n}}{x_{n}^{m}}}\right)} ） 應用[編輯] 求解最值問題[編輯] 主條目：應用於最優化的牛頓法 牛頓法也被用於求函數的極值。

由於函數取極值的點處的導數值為零，故可用牛頓法求導函數的零點，其疊代式為 x n + 1 = x n − f ′ ( x n ) f ′ ′ ( x n ) . {\displaystylex_{n+1}=x_{n}-{\frac{f^{\prime}(x_{n})}{f^{\prime\prime}(x_{n})}}.} 求反曲點的公式以此類推 註解[編輯] ^https://cs.nyu.edu/overton/NumericalComputing/newton.pdf 外部連結[編輯] 數學主題 JAVA：牛頓勘根法（繁體中文） 規範控制 LCCN:sh92005466 閱論編求根演算法求根算法二分法·牛頓法·割線法·疊代法·盈不足術（試位法） 取自「https://zh.wikipedia.org/w/index.php?title=牛顿法&oldid=68859395」 分類：求根算法最優化算法艾薩克·牛頓隱藏分類：含有英語的條目包含LCCN標識符的維基百科條目 導覽選單 個人工具 沒有登入討論貢獻建立帳號登入 命名空間 條目討論 臺灣正體 已展開 已摺疊 不转换简体繁體大陆简体香港繁體澳門繁體大马简体新加坡简体臺灣正體 查看 閱讀編輯檢視歷史 更多 已展開 已摺疊 搜尋 導航 首頁分類索引特色內容新聞動態近期變更隨機條目資助維基百科 說明 說明維基社群方針與指引互助客棧知識問答字詞轉換IRC即時聊天聯絡我們關於維基百科 工具 連結至此的頁面相關變更上傳檔案特殊頁面靜態連結頁面資訊引用此頁面維基數據項目 列印/匯出 下載為PDF可列印版 其他專案 維基共享資源 其他語言 AfrikaansالعربيةAzərbaycancaتۆرکجهБългарскиCatalàکوردیČeštinaDanskDeutschΕλληνικάEnglishEsperantoEspañolفارسیSuomiFrançaisעבריתहिन्दीMagyarBahasaIndonesiaItaliano日本語한국어NederlandsNorsknynorskNorskbokmålPolskiPortuguêsRomânăРусскийSimpleEnglishSlovenščinaSvenskaTagalogTürkçeУкраїнськаTiếngViệt文言 編輯連結