一元三次方程,使用牛頓迭代法求根,除了陷入死迴圈
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一元三次方程,使用牛頓迭代法求根,除了陷入死迴圈,就一定會收斂到某一個根嗎?,1樓已登出1 先來看切線法使用時的充分條件函式在上有二階連續導數, ...
一元三次方程,使用牛頓迭代法求根,除了陷入死迴圈,就一定會收斂到某一個根嗎?
首頁>教育時間2021-06-0903:14:34
1樓:「已登出」
1.先來看切線法使用時的充分條件:
函式在上有二階連續導數,且滿足條件:
(1)(2)
(3)選取中滿足的,那麼作迭代過程:
它的幾何意義十分明顯,即作點處的切線與軸的交點作為;
上述的三個條件中:(1)保證了函式在區間上必有零點,將其記作;(2)、(3)則分別保證了函式的嚴格單調性與函式的嚴格凸性;
2.下面證明利用迭代法得到的序列必然收斂於;
不失一般性,設與均大於零;
①證明:
對進行歸納;假設命題對成立時,考察的情形;
注意到在區間上連續,在區間上可導,於是由中值定理,得到另外,我們有
綜合兩式即得結論;
②於是我們得到,數列單調遞減並有下界,於是其必然收斂,記於是迭代關係式兩邊取極限,並注意到函式是區間上的連續函式,於是由定理,所以得到。
總結:給出了切線法使用的充分條件證明了迭代過程確實能得到任意精度的近似解。
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